Ο Πυθαγόρας πίστευε ότι οι αριθμοί κρύβουν τα μυστικά του σύμπαντος. Ανάμεσα στις πιο ποιητικές ανακαλύψεις του ήταν μια ιδέα που μετέτρεψε τη φιλία σε μαθηματική αλήθεια: δύο αριθμοί που «φροντίζουν» ο ένας τον άλλον, γιατί τα μέρη καθενός αθροίζουν ακριβώς στον άλλον. Τους ονόμασε φίλιους αριθμούς.
Τι είναι οι φίλιοι αριθμοί
Αν σ(n) είναι η συνάρτηση αθροίσματος όλων των διαιρετών του n (συμπεριλαμβανομένου του ίδιου), τότε:
σ(α) = σ(β) = α + β ή ισοδύναμα, αν s(n) = σ(n) − n (άθροισμα γνήσιων διαιρετών):
s(α) = β και s(β) = α
Με απλά λόγια: αν πάρουμε έναν αριθμό, βρούμε όλους τους διαιρέτες του εκτός από τον ίδιο, και τους αθροίσουμε, παίρνουμε τον «φίλο» του. Κάνοντας την ίδια διαδικασία στον φίλο, επιστρέφουμε στον αρχικό. Είναι μια μαθηματική αμοιβαιότητα — ένας τέλειος κύκλος.
Το κλασικό ζεύγος: 220 και 284
Το πρώτο και πιο διάσημο ζεύγος φίλιων αριθμών αποδίδεται στον Πυθαγόρα (6ος αιώνας π.Χ.), αν και η αρχαιότερη γραπτή αναφορά εμφανίζεται στο έργο του Ιάμβλιχου, τέσσερις αιώνες αργότερα. Οι αριθμοί 220 και 284 αποτελούν ίσως το πιο κομψό παράδειγμα αριθμητικής συμμετρίας.
Βήμα 1: Γνήσιοι διαιρέτες του 220:
Άθροισμα: 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284 ✓
Βήμα 2: Γνήσιοι διαιρέτες του 284:
Άθροισμα: 1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220 ✓
Τα δύο αθροίσματα «δείχνουν» το ένα στο άλλο. Ο κύκλος κλείνει.
Αξίζει να παρατηρήσουμε ότι ο 220 έχει 11 γνήσιους διαιρέτες ενώ ο 284 μόλις 5. Η «φιλία» δεν απαιτεί ισότητα στη δομή — μόνο ισότητα στο αποτέλεσμα. Κάτι που θυμίζει πραγματική φιλία: δεν χρειάζεται να είσαι ίδιος με τον φίλο σου, αρκεί αυτό που προσφέρεις να συμπληρώνει αυτό που λαμβάνεις.
Φίλιοι αριθμοί και τέλειοι αριθμοί
Υπάρχει μια βαθιά σύνδεση ανάμεσα στους φίλιους και τους τέλειους αριθμούς. Ένας τέλειος αριθμός είναι εκείνος που ισούται με το άθροισμα των γνήσιων διαιρετών του: s(n) = n. Με άλλα λόγια, ένας τέλειος αριθμός είναι φίλος του εαυτού του — ένα ζεύγος (n, n).
Οι πρώτοι τέλειοι αριθμοί είναι ο 6 (= 1 + 2 + 3) και ο 28 (= 1 + 2 + 4 + 7 + 14). Ο Ευκλείδης απέδειξε ότι κάθε αριθμός της μορφής 2p−1(2p − 1), όπου 2p − 1 πρώτος (πρώτοι Mersenne), είναι τέλειος. Οι φίλιοι αριθμοί αποτελούν τη φυσική γενίκευση: αντί ένας αριθμός να «αυταρκεί», δύο αριθμοί συμπληρώνουν ο ένας τον άλλον.
Ιστορική διαδρομή
Η ιστορία των φίλιων αριθμών εκτείνεται σε 2.500 χρόνια και περνά από πολιτισμούς, ηπείρους και εποχές. Ακολουθεί μια συνοπτική χρονολόγηση:
Γνωστά ζεύγη φίλιων αριθμών
Στον παρακάτω πίνακα παρουσιάζονται ορισμένα από τα πιο γνωστά ζεύγη, μαζί με αυτόν που τα ανακάλυψε:
| α | β | Ανακαλύφθηκε από | Έτος |
|---|---|---|---|
| 220 | 284 | Πυθαγόρας | ~500 π.Χ. |
| 1.184 | 1.210 | N. Paganini | 1866 |
| 2.620 | 2.924 | Euler | 1750 |
| 5.020 | 5.564 | Euler | 1750 |
| 6.232 | 6.368 | Euler | 1750 |
| 10.744 | 10.856 | Euler | 1750 |
| 17.296 | 18.416 | Fermat | 1636 |
| 63.020 | 76.084 | Euler | 1750 |
| 66.928 | 66.992 | Euler | 1750 |
| 67.095 | 71.145 | Euler | 1750 |
Πώς ελέγχουμε αν δύο αριθμοί είναι φίλιοι
Η διαδικασία είναι απλή, αν και υπολογιστικά κοστίζει για μεγάλους αριθμούς:
1. Υπολόγισε s(α) = άθροισμα γνήσιων διαιρετών του α
2. Υπολόγισε s(β) = άθροισμα γνήσιων διαιρετών του β
3. Αν s(α) = β και s(β) = α και α ≠ β, τότε (α, β) είναι φίλιοι.
Σημείωση: Η συνθήκη α ≠ β διαχωρίζει τους φίλιους από τους τέλειους αριθμούς.
Ο πιο αποδοτικός τρόπος υπολογισμού του s(n) δεν είναι η δοκιμαστική διαίρεση μέχρι το n, αλλά μέχρι το √n: για κάθε διαιρέτη d ≤ √n, προσθέτουμε τόσο τον d όσο και τον n/d (προσέχοντας ότι αν d = √n, τον μετράμε μία φορά).
Ο τύπος του Θάμπιτ ιμπν Κούρρα
pn = 3 · 2n−1 − 1, qn = 3 · 2n − 1, rn = 9 · 22n−1 − 1 Αν οι pn, qn, rn είναι και οι τρεις πρώτοι αριθμοί, τότε:
α = 2n · pn · qn και β = 2n · rn αποτελούν ζεύγος φίλιων αριθμών.
p₂ = 3 · 2¹ − 1 = 5 (πρώτος ✓), q₂ = 3 · 2² − 1 = 11 (πρώτος ✓), r₂ = 9 · 2³ − 1 = 71 (πρώτος ✓)
α = 2² · 5 · 11 = 4 · 55 = 220
β = 2² · 71 = 4 · 71 = 284
Ανακτούμε το κλασικό ζεύγος του Πυθαγόρα!
Ο τύπος λειτουργεί επίσης για n = 4 (παράγει το ζεύγος 17.296 – 18.416, που βρήκε ο Fermat) και για n = 7, αλλά αποτυγχάνει για τις περισσότερες τιμές του n, επειδή σπάνια είναι και οι τρεις αριθμοί p, q, r ταυτόχρονα πρώτοι.
Ανοιχτά προβλήματα
Παρά τα δισεκατομμύρια γνωστών ζευγών, κάποια θεμελιώδη ερωτήματα παραμένουν αναπάντητα εδώ και αιώνες:
1. Υπάρχουν άπειρα ζεύγη φίλιων αριθμών; — Ό,τι γνωρίζουμε δείχνει πως ναι, αλλά δεν υπάρχει απόδειξη.
2. Υπάρχει ζεύγος με έναν άρτιο και έναν περιττό αριθμό; — Κανένα τέτοιο ζεύγος δεν έχει βρεθεί. Αν υπάρχει, ο μικρότερος αριθμός πρέπει να υπερβαίνει το 1025.
3. Υπάρχει ζεύγος φίλιων αριθμών που να είναι μεταξύ τους πρώτοι; — Αν ΜΚΔ(α, β) = 1, λέγονται «ασυμβίβαστοι φίλιοι». Κανένα τέτοιο ζεύγος δεν είναι γνωστό.
Φίλιοι αριθμοί στον πολιτισμό
Η αντίληψη ότι οι αριθμοί 220 και 284 συμβολίζουν τη φιλία (ή τον έρωτα) πέρασε από τους Πυθαγορείους στους Άραβες μαθηματικούς και φιλόσοφους, και από εκεί στη μεσαιωνική Ευρώπη. Ο Ιμπν Χαλντούν αναφέρει ότι στη μαγική παράδοση τα φρούτα με τους αριθμούς 220 και 284 χρησιμοποιούνταν ως ερωτικά φίλτρα. Στον Ιουδαϊσμό, η αριθμητική τιμή (γκεμάτρια) λέξεων σχετικών με αγάπη συνδέθηκε με αυτό το ζεύγος.
Η ταινία «Έτερος Εγώ»
Η πιο εντυπωσιακή σύγχρονη αναφορά στους φίλιους αριθμούς προέρχεται από τον ελληνικό κινηματογράφο. Η ταινία «Έτερος Εγώ» (2016, σκηνοθεσία Σωτήρη Τσαφούλια) — ένα αστυνομικό θρίλερ με πρωταγωνιστή τον Πυγμαλίωνα Δαδακαρίδη και τη συμμετοχή του Φρανσουά Κλουζέ — χτίζει ολόκληρη την πλοκή γύρω από το ζεύγος 220 και 284. Η ιδέα γεννήθηκε, σύμφωνα με τον ίδιο τον σκηνοθέτη, ένα βράδυ στα Ψαρά: ο Τσαφούλιας διάβασε για τους φίλιους αριθμούς, τον γοήτευσε η αποτύπωση της φιλίας σε μαθηματικούς όρους, και ο συνειρμός τον οδήγησε στο πρώτο σενάριο που έγραψε ποτέ. Για τη μαθηματική τεκμηρίωση συνεργάστηκε στενά με τον μαθηματικό και συγγραφέα Τεύκρο Μιχαηλίδη, ο οποίος εμφανίζεται κι ο ίδιος σε μια σύντομη σκηνή ως γιατρός. Ο τίτλος αποδίδει ακριβώς τον ορισμό του Πυθαγόρα — «αυτός που είναι ο άλλος σου εαυτός, όπως ο 220 και ο 284».
Στην ταινία, ο παππούς χαρίζει στην εγγονή του δύο μενταγιόν: το ένα φέρει την εικόνα του Πυθαγόρα και τον αριθμό 220, το άλλο τον αριθμό 284 — με την οδηγία να δώσει το δεύτερο «σε όποιον αγαπήσει αληθινά». Μια σειρά δολοφονιών, με τον αριθμό 220 ως «υπογραφή» του δράστη, οδηγεί τον καθηγητή εγκληματολογίας Δημήτρη Λαΐνη σε ένα μαθηματικό αίνιγμα: οι γνήσιοι διαιρέτες του 284 (1, 2, 4, 71, 142) αντιστοιχούν στις ημερομηνίες των εγκλημάτων — η 71η και η 142η μέρα του χρόνου γίνονται κλειδιά για την επίλυση. Για τη μαθηματική τεκμηρίωση του σεναρίου συνεργάστηκε ο μαθηματικός και συγγραφέας Τεύκρος Μιχαηλίδης.
Η ταινία — μαζί με τη σειρά-sequel (Cosmote TV, 2019–2023) — έκανε τους φίλιους αριθμούς γνωστούς σε ένα ευρύτατο ελληνικό κοινό και αποτελεί ίσως το καλύτερο παράδειγμα ενσωμάτωσης μαθηματικών σε ελληνική κινηματογραφική αφήγηση.
Πέρα από τις μεταφυσικές ερμηνείες, η πραγματική ομορφιά βρίσκεται στο μαθηματικό περιεχόμενο: η ύπαρξη μιας κρυφής τάξης μέσα στους φυσικούς αριθμούς, μιας αμοιβαιότητας που δεν φαίνεται στην επιφάνεια αλλά αποκαλύπτεται μόνο μέσα από ανάλυση.
Αλυσίδες κοινωνικών αριθμών
Η ιδέα γενικεύεται: αντί για ζεύγη, μπορούμε να αναζητήσουμε αλυσίδες (sociable chains), δηλαδή ακολουθίες αριθμών a₁, a₂, …, ak όπου s(a₁) = a₂, s(a₂) = a₃, …, s(ak) = a₁. Οι τέλειοι αριθμοί είναι αλυσίδες μήκους 1, οι φίλιοι αριθμοί αλυσίδες μήκους 2, και υπάρχουν γνωστές αλυσίδες μήκους 4, 5, 6, 8 και 28. Η αναζήτηση αλυσίδας μήκους 3 παραμένει ανοιχτή.
Γιατί μας αφορούν σήμερα
Στη σύγχρονη εποχή, οι φίλιοι αριθμοί δεν αποτελούν μόνο ιστορικό περίεργο. Η μελέτη τους συνδέεται με τη θεωρία αριθμών, τους αλγόριθμους παραγοντοποίησης, την κρυπτογραφία και τη θεωρία υπολογιστικής πολυπλοκότητας. Η ερώτηση «πώς κατανέμονται οι φίλιοι αριθμοί στο σύνολο των φυσικών» αγγίζει θεμελιώδη ζητήματα για τη δομή των αριθμών.
Για τον μαθητή, ωστόσο, η μεγαλύτερη αξία τους είναι διδακτική: δείχνουν ότι τα μαθηματικά δεν είναι μόνο εργαλείο — είναι και γλώσσα ομορφιάς. Ότι πίσω από τη φαινομενική τυχαιότητα των αριθμών κρύβονται μοτίβα, σχέσεις και εκπλήξεις που περιμένουν κάποιον να τα ανακαλύψει. Ακριβώς όπως ο 16χρονος Paganini βρήκε ένα ζεύγος που είχαν χάσει γενιές μαθηματικών.
• Dickson, L.E. (1919). History of the Theory of Numbers, Vol. I, Ch. I.
• Sandifer, C.E. (2007). How Euler Did Even More, MAA.
• Erdős, P. (1955). “On amicable numbers”. Publicationes Mathematicae Debrecen, 4, 108–111.
• Wikipedia: Amicable numbers
• MathWorld: Amicable Numbers
Καθηγητής Μαθηματικών — Εκπαιδευτικός Αναλυτής
Δημιουργός site PaideiaNet.com