«Ο ΘΑΛΗΣ» 2021–2025: Όλα τα θέματα ανά τάξη και χρονιά
Πλήρες ευρετήριο των πέντε τελευταίων διαγωνισμών της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας — 80 θέματα, ταξινομημένα ανά τάξη, με τη θεματική περιοχή του καθενός και απευθείας σύνδεσμο στα επίσημα αρχεία.
Πώς να το χρησιμοποιήσετε: τα θέματα και οι ενδεικτικές λύσεις είναι έργο της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας και παραμένουν στη δική της ιστοσελίδα. Εδώ θα βρείτε τον χάρτη: ποια χρονιά, ποια τάξη, τι είδους πρόβλημα — ώστε να εντοπίσετε σε δευτερόλεπτα ό,τι σας ενδιαφέρει, χωρίς να ανοίγετε πέντε PDF στη σειρά. Κάθε θεματική περιγραφή είναι δική μας καταγραφή.
Τα τελευταία πέντε χρόνια, ο 82ος έως ο 86ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισμός έδωσαν συνολικά 80 θέματα σε πέντε τάξεις. Η κατανομή δεν είναι τυχαία και φαίνεται καθαρά μόλις τα βάλει κανείς στη σειρά: σε κάθε τάξη επανέρχονται σταθερά τρεις άξονες — αριθμητικές παραστάσεις και δυνάμεις, θεωρία αριθμών (διαιρετότητα, ψηφία, τέλεια τετράγωνα), και γεωμετρία του τριγώνου και των τετραπλεύρων. Στο Λύκειο προστίθενται τα συστήματα με συμμετρικές παραστάσεις, οι ανισότητες και, σχεδόν κάθε χρονιά στη Γ΄ Λυκείου, μια συναρτησιακή εξίσωση.
Ένας μαθητής που θέλει να προετοιμαστεί δεν χρειάζεται να διαβάσει και τα 80. Χρειάζεται να αναγνωρίσει το μοτίβο της τάξης του — και αυτό ακριβώς δείχνουν οι παρακάτω πίνακες.
Β΄ Γυμνασίου
| Χρονιά | Θέμα | Θεματική περιοχή |
|---|---|---|
| 2021 82ος | 1 | Τριψήφιοι αριθμοί: αναδιατάξεις ψηφίων και διαιρετότητα με το 4 |
| 2 | Σταθμισμένα αθροίσματα βαθμών — εύρεση του πλήθους των μαθητών μιας τάξης | |
| 3 | Γεωμετρία: ισοσκελές τρίγωνο, ισόπλευρα τρίγωνα και διχοτόμοι γωνιών | |
| 2022 83ος | 1 | Υπολογισμός αριθμητικής παράστασης με ακεραίους, κλάσματα και δυνάμεις |
| 2 | Γεωμετρία: ισοσκελές τρίγωνο με προσαρτημένο τετράγωνο — γωνίες και ίσα τμήματα | |
| 3 | Πρόβλημα με λόγους και ανισότητα: απόδειξη ότι καταναλώθηκαν πάνω από τα 3/4 | |
| 2023 84ος | 1 | Σύγκριση δύο παραστάσεων ρητών αριθμών με δυνάμεις |
| 2 | ΜΚΔ και ΕΚΠ με περιορισμούς σε άγνωστο ακέραιο | |
| 3 | Γεωμετρία: ορθογώνιο και παραλληλόγραμμο — ίσα τμήματα, συνευθειακά μέσα | |
| 4 | Συνδυαστική: μπορεί το άθροισμα επιλεγμένων αριθμών σε κύκλο να πάρει δοσμένη τιμή; | |
| 2024 85ος | 1 | Υπολογισμός και σύγκριση παραστάσεων με προσημασμένους αριθμούς και δυνάμεις |
| 2 | ΕΚΠ και ΜΚΔ διαιρετών του 120 και του 24 | |
| 3 | Γεωμετρία: γωνίες ισοσκελούς τριγώνου, σχέσεις γωνιών και τμημάτων | |
| 2025 86ος | 1 | Υπολογισμός και σύγκριση αριθμητικών παραστάσεων με δυνάμεις και κλάσματα |
| 2 | Εύρεση ζευγών ακεραίων από τον ΜΚΔ και το ΕΚΠ τους | |
| 3 | Γεωμετρία: απόδειξη ότι τετράπλευρο σε σχήμα με τετράγωνο είναι τετράγωνο |
Το μοτίβο της Β΄ Γυμνασίου: Θέμα 1 είναι σχεδόν πάντα αριθμητική παράσταση με δυνάμεις και κλάσματα. Θέμα 2 εναλλάσσεται ανάμεσα σε ΜΚΔ–ΕΚΠ και γεωμετρία. Θέμα 3 είναι γεωμετρία ισοσκελούς ή πρόβλημα με λόγους. Όποιος δουλέψει καλά τις δυνάμεις με αρνητική βάση και τον αλγόριθμο ΜΚΔ–ΕΚΠ έχει ήδη καλύψει τα δύο από τα τρία θέματα.
Γ΄ Γυμνασίου
| Χρονιά | Θέμα | Θεματική περιοχή |
|---|---|---|
| 2021 82ος | 1 | Ελάχιστος θετικός ακέραιος από τα ψηφία 9 και 2, διαιρετός με όσο γίνεται περισσότερα ψηφία 2–9 |
| 2 | Γεωμετρία: διχοτόμος, ύψος και μεσοκάθετος που συντρέχουν σε ένα σημείο | |
| 3 | Πρόβλημα καταμέτρησης με κάρτες και γραμματόσημα — ελάχιστο πλήθος μαθητών | |
| 2022 83ος | 1 | Υπολογισμός παράστασης με δυνάμεις, πρόσημα και εμφωλευμένες πράξεις |
| 2 | Γεωμετρία: ισοσκελές με τετράγωνο — εύρεση γωνίας και εμβαδόν τραπεζίου | |
| 3 | Θεωρία αριθμών: πληθυσμός μεταξύ 35.000 και 40.000 από υπόλοιπα διαίρεσης με 7, 9 και 64 | |
| 2023 84ος | 1 | Απλοποίηση παράστασης δυνάμεων σε μία δύναμη του 2 |
| 2 | Ψηφία που κάνουν έναν εξαψήφιο αριθμό διαιρετό με το 17 | |
| 3 | Απόδειξη ιδιότητας διαιρετότητας με το 10 ανάμεσα σε επτά ακεραίους | |
| 4 | Γεωμετρία: ορθογώνιο με ρόμβο — Πυθαγόρειο, εμβαδόν και σχέση διαγωνίου | |
| 2024 85ος | 1 | Υπολογισμός και σύγκριση αριθμητικών παραστάσεων με δυνάμεις |
| 2 | Τριψήφιοι αριθμοί ίσοι με το 20πλάσιο του αθροίσματος των ψηφίων τους | |
| 3 | Γεωμετρία: ισοσκελές με μέσο και μεσοκάθετο — εμβαδόν τετραπλεύρου | |
| 2025 86ος | 1 | Υπολογισμός και σύγκριση ρητών παραστάσεων με δυνάμεις |
| 2 | Τριψήφιοι που ικανοποιούν εξίσωση ψηφίων και είναι διαιρετοί με το 3 | |
| 3 | Γεωμετρία: τετράπλευρο σε σχήμα με ορθογώνιο είναι ρόμβος· ισότητα δύο τμημάτων |
Το μοτίβο της Γ΄ Γυμνασίου: η τάξη αυτή είναι η πιο «θεωρητικών αριθμών» όλου του διαγωνισμού. Τέσσερις στις πέντε χρονιές έχουν θέμα με ψηφία και διαιρετότητα — τριψήφιοι ίσοι με πολλαπλάσιο του αθροίσματος των ψηφίων τους, κριτήρια διαιρετότητας, υπόλοιπα. Η γεωμετρία πηγαίνει σταθερά σε ορθογώνιο, ρόμβο και Πυθαγόρειο.
Α΄ Λυκείου
| Χρονιά | Θέμα | Θεματική περιοχή |
|---|---|---|
| 2021 82ος | 1 | Επίλυση συστήματος με ρητές παραστάσεις |
| 2 | Τριψήφιοι ίσοι με το 8πλάσιο αθροίσματος διαδοχικών ακεραίων | |
| 3 | Γεωμετρία: ισοσκελές τρίγωνο — ισότητα τμημάτων μέσω ίσων ορθογωνίων τριγώνων | |
| 2022 83ος | 1 | Σύστημα δύο εξισώσεων με αντικατάσταση αντιστρόφων |
| 2 | Γεωμετρία: ισοσκελή τρίγωνα και παράλληλες — ισότητες τμημάτων και παραλληλία | |
| 3 | Θεωρία αριθμών: ακέραιο μέρος τετραγωνικής ρίζας και διαιρετότητα — απόδειξη τέλειου τετραγώνου | |
| 2023 84ος | 1 | Υπολογισμός αλγεβρικής παράστασης από ακέραιους λόγους μη μηδενικών πραγματικών |
| 2 | Επίλυση συστήματος δύο εξισώσεων με αντικατάσταση | |
| 3 | Μπορεί ο 2023·10ν+1 να είναι τέλειο τετράγωνο; | |
| 4 | Γεωμετρία: εγγράψιμο ισοσκελές τραπέζιο με διχοτόμο — απόδειξη καθετότητας | |
| 2024 85ος | 1 | Γεωμετρία: γωνίες ισοσκελούς και απόδειξη ότι τετράπλευρο είναι ρόμβος |
| 2 | Πραγματικές λύσεις εξίσωσης δύο μεταβλητών γραμμένης ως άθροισμα τετραγώνων | |
| 3 | Αλγεβρική σχέση παραμέτρων με αντίστροφα και ρητή παράσταση | |
| 2025 86ος | 1 | Ακέραιοι ίσοι με το 2025πλάσιο του τελευταίου ψηφίου τους (διαιρετότητα με 10) |
| 2 | Υπολογισμός κυβικής παράστασης από συνθήκη δύο μεταβλητών (παραγοντοποίηση) | |
| 3 | Γεωμετρία: λόγος τμημάτων σε τρίγωνο με γωνία 120° και μεσοκάθετο |
Το μοτίβο της Α΄ Λυκείου: η τάξη-γέφυρα. Κρατάει τη θεωρία αριθμών του Γυμνασίου (ψηφία, τέλεια τετράγωνα) και προσθέτει τα συστήματα και τις ταυτότητες. Το «άθροισμα τετραγώνων ίσο με μηδέν» εμφανίζεται επανειλημμένα — είναι το πιο κερδοφόρο εργαλείο της τάξης.
Β΄ Λυκείου
| Χρονιά | Θέμα | Θεματική περιοχή |
|---|---|---|
| 2021 82ος | 1 | Κυκλικό σύστημα εξισώσεων σε θετικούς πραγματικούς — παραγοντοποίηση και φράγματα |
| 2 | Τετραψήφιοι ίσοι με το 8πλάσιο αθροίσματος διαδοχικών τετραγώνων | |
| 3 | Γεωμετρία: κάθετη σε ισοσκελή διάταξη — απόδειξη ότι μία πλευρά είναι τριπλάσια άλλης | |
| 2022 83ος | 1 | Σύστημα με αντίστροφες μεταβλητές και συμμετρικές κυβικές παραστάσεις |
| 2 | Ανισότητα δύο μεταβλητών — αντικατάσταση και παραγοντοποίηση | |
| 3 | Γεωμετρία: ισόπλευρο τρίγωνο, μοναδικό εσωτερικό σημείο με δοσμένες γωνίες, περιγεγραμμένοι κύκλοι | |
| 2023 84ος | 1 | Δυνατές τιμές κυκλικής παράστασης λόγων με τέσσερις μη μηδενικούς πραγματικούς |
| 2 | Μπορεί ο 2023·10ν+6 να είναι τέλειο τετράγωνο; (αρτιότητα και υπόλοιπα) | |
| 3 | Δύο τριώνυμα με ακέραιους συντελεστές — αθροίσματα και διαφορές πολλαπλάσια του 2023 | |
| 4 | Γεωμετρία: τρίγωνο με έγκεντρο και περιγεγραμμένο κύκλο — απόδειξη καθετότητας | |
| 2024 85ος | 1 | Δυνατές τιμές μεταβλητής από σύστημα ίσων λόγων |
| 2 | Γεωμετρία: ισοσκελές με κορυφαία γωνία 36° — απόδειξη καθετότητας | |
| 3 | Ικανές και αναγκαίες συνθήκες παραμέτρων ώστε σύστημα με αντίστροφα να έχει λύσεις | |
| 2025 86ος | 1 | Συνθήκη διακρίνουσας για απόδειξη φραγμάτων σε θετικούς πραγματικούς |
| 2 | Γεωμετρία: απόδειξη ότι τρίγωνο είναι ορθογώνιο μέσω ίσων εμβαδών και ομοιότητας | |
| 3 | Κατανομή 150 βόλων σε 10 αύξοντα κουτιά — ανισότητες και διερεύνηση περιπτώσεων |
Το μοτίβο της Β΄ Λυκείου: εδώ κυριαρχούν τα συμμετρικά συστήματα (άθροισμα–γινόμενο, αντίστροφα, κυκλικοί λόγοι) και η διακρίνουσα ως εργαλείο ανισότητας. Η γεωμετρία ανεβάζει επίπεδο: έγκεντρο, περιγεγραμμένος κύκλος, εγγράψιμα τετράπλευρα.
Γ΄ Λυκείου
| Χρονιά | Θέμα | Θεματική περιοχή |
|---|---|---|
| 2021 82ος | 1 | Διοφαντικό σύστημα εξισώσεων στους θετικούς ακεραίους |
| 2 | Συναρτησιακή εξίσωση: απόδειξη ότι η συνάρτηση είναι 1-1 και επί, εύρεση όλων των λύσεων | |
| 3 | Γεωμετρία: κύκλοι με κέντρα κορυφές και μέσα πλευρών — τρεις ευθείες συντρέχουν στο βαρύκεντρο | |
| 2022 83ος | 1 | Βελτιστοποίηση συμμετρικής παράστασης υπό σταθερό άθροισμα — ελάχιστο και μέγιστο |
| 2 | Γεωμετρία: μέσο, διχοτόμοι και εγγράψιμα τετράπλευρα — απόδειξη ότι τέσσερα σημεία είναι ομοκυκλικά | |
| 3 | Συναρτησιακή εξίσωση στους θετικούς ακεραίους — εύρεση συγκεκριμένης τιμής | |
| 2023 84ος | 1 | Δυνατές τιμές παράστασης με κύβους τεσσάρων μη μηδενικών πραγματικών |
| 2 | Μέγιστο πλήθος μηδενικών συντελεστών σε πολυώνυμο βαθμού 2024 με ακριβώς τέσσερις ρίζες | |
| 3 | Μπορεί ο 2023·10ν+5 να είναι τέλειο τετράγωνο; (τελευταία ψηφία, υπόλοιπα) | |
| 4 | Γεωμετρία: τρίγωνο με γωνία 60°, έγκεντρο, περίκεντρο και μέσο τόξου — απόδειξη ΟΙ ⊥ ΒΕ | |
| 2024 85ος | 1 | Σύγκριση παραστάσεων υπό συνθήκη απόλυτης τιμής, με αλγεβρικές ταυτότητες |
| 2 | Συναρτησιακή εξίσωση και υπολογισμός της f σε συγκεκριμένο σημείο | |
| 3 | Γεωμετρία: απόδειξη ότι τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο, με ισοσκελή τρίγωνα και ακτίνα περιγεγραμμένου | |
| 2025 86ος | 1 | Εύρεση της διαφοράς αριθμητικής προόδου από δύο αθροίσματα όρων |
| 2 | Επίλυση διοφαντικής εξίσωσης στους θετικούς ακεραίους με παραγοντοποίηση | |
| 3 | Γεωμετρία: λόγος εμβαδών συναρτήσει παραμέτρου σε ορθογώνιο με παράλληλες |
Το μοτίβο της Γ΄ Λυκείου: η συναρτησιακή εξίσωση είναι σχεδόν μόνιμος κάτοικος — 2021, 2022, 2024. Δίπλα της, διοφαντικές εξισώσεις με παραγοντοποίηση και βελτιστοποίηση υπό περιορισμό. Προσοχή: η ύλη δεν είναι η ύλη των Πανελλαδικών. Δεν ζητείται ανάλυση — ζητείται άλγεβρα, θεωρία αριθμών και ευκλείδεια γεωμετρία.
Τα επίσημα αρχεία ανά χρονιά
- 2021 · 82ος Θέματα & ενδεικτικές λύσεις, όλες οι τάξεις (PDF) — διαγωνισμός 5 Νοεμβρίου 2021
- 2022 · 83ος Γυμνάσιο (PDF) · Λύκειο (PDF) — διαγωνισμός 11 Νοεμβρίου 2022
- 2023 · 84ος Θέματα & ενδεικτικές λύσεις, όλες οι τάξεις (PDF) — διαγωνισμός 4 Νοεμβρίου 2023, τέσσερα θέματα ανά τάξη
- 2024 · 85ος Θέματα & ενδεικτικές λύσεις (PDF) · Εκφωνήσεις Γυμνασίου (PDF) — διαγωνισμός 8 Νοεμβρίου 2024
- 2025 · 86ος Εκφωνήσεις (PDF) · Θέματα & ενδεικτικές λύσεις (PDF) — διαγωνισμός 7 Νοεμβρίου 2025
Τρεις πρακτικές παρατηρήσεις
- Το 2023 ήταν η μόνη χρονιά με τέσσερα θέματα ανά τάξη αντί για τρία. Από το 2024 επανήλθαν τα τρία.
- Οι λύσεις της ΕΜΕ χαρακτηρίζονται ρητά «ενδεικτικές». Σε αρκετά θέματα δίνονται δύο ή τρεις διαφορετικές μέθοδοι — αξίζει να τις δει κανείς όλες, γιατί η δεύτερη μέθοδος είναι συχνά η συντομότερη.
- Τα θέματα του 2023 και του 2025 «κουβαλούν» τη χρονιά τους μέσα στην εκφώνηση (2023·10ν, το 2025πλάσιο κ.ο.κ.). Είναι σταθερή συνήθεια της Επιτροπής και καλός οδηγός για το τι να περιμένει κανείς φέτος με το 2026 — αριθμό άρτιο, με ανάλυση 2·1013, κάτι που αλλάζει αρκετά τα παιχνίδια με τέλεια τετράγωνα και υπόλοιπα.
Πηγές:
- Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία — Θέματα και ενδεικτικές λύσεις 82ου–86ου Πανελλήνιου Μαθητικού Διαγωνισμού «Ο ΘΑΛΗΣ» (2021–2025)
- Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία — Σελίδα Διαγωνισμών, hms.gr/competitions
